釋說新語之十八:什麼是Moment?

2008/10/07 – 上午 10:13

劉源俊

  Moment這個字在一般用語的意思是「瞬間」。但在物理裡,不說「瞬間」,因為語意含混;說「瞬時」(英文是instant),指的是某時刻的當兒。所以,速度即「瞬時速度」(英文是instantaneous velocity)。

  然而物理裡,特別有好些地方出現moment這個字。我們看:moment of force譯為「力矩」,moment of momentum譯為「角動量」,moment of inertia又譯為「轉動慣量」。為什麼?moment到底是什麼意思呢?
進一部檢視,則發現力學裡:moment of force定義為τ ≣ Σ r × F,moment of momentum定義為L ≣ Σ r × p,moment of inertia定義為Iij ≣ Σ m ri rj。τ稱為力矩是有道理的,因為其大小是力在跟力臂垂直方向的分量與力臂的乘積,可以畫出一矩形來;準此,L稱為「動量矩」也是可以的,只是一般依據它的另一名稱angular momentum譯成角動量。

  然而,Iij就複雜得多,與矩形毫無關係;一般依據它界定角動量與角速度間的關係,可類比於動量與速度間的關係,因而譯成轉動慣量;不直譯為「慣量矩」也是對的,因為它不達意。

  三者英文裡都有moment這字,這字可是與矩形一點關係都沒有,其中必有道理。原來,這幾個定義都與「分布」有關。為顯示某物理量離開一參考原點分佈的情況,我們可以定義好多階的moments──物理量乘上距離的一次式加總起來稱為the first moment(一般譯為「第一階矩」);物理量乘上距離的二次式加總起來稱為the second moment;依此類推。因此,前述力矩與角動量屬「第一階矩」,轉動慣量則屬「第二階矩」。

  電學中定義「電偶極矩」(electric dipole moment)為p ≡ Σ q r ,屬第一階矩;定義「電四極矩」(electric quadrupole moment)為Qij≣ Σ ( 3q ri rj ﹣r2 δij ) ,屬第二階矩;「電八極矩」屬第三階矩;依此類推,電2l 極矩屬第l 階矩。「磁偶極矩」的定義則為 m ≡ ½ Σ q r ×v,與角動量有一定的關係,屬第一級矩;「磁四極矩」要複雜得多,屬第二級矩;依此類推…。

  統計學裡借用了這一套作法,定義任一個分布的各階矩。有個「唯一定理」說:如果知道所有各階的矩,就能推知整個分布。