釋說新語之十三:試說量子力學裡的機與運

2008/10/07 – 上午 9:47

劉源俊

  量子力學 (quantum mechanics) 是1925-26年間物理學家發展用來描述觀測儀器 (measuring apparatus) 與被觀測者 (the observed system) 間關係的學問。其中並不談力,稱之為「力學」,其實是一謬誤。有人於是另創造quantics(可譯為「量子學」)一詞,著眼在避免誤解,但不通行。

  在量子力學的數學描述裡,被觀測者的態 (state) 是用複數矢量宇 (complex vector space) 裡的矢量 (vector) 來表示1;如果維度是無窮大,則是所謂希爾伯特宇 (Hilbert space) 裡的矢量。此矢在初級量子力學書裡稱之為「波函數」(wave function) 其實大謬不然,因為並不是「波」;費因曼 (Feynman) 則主張稱為state amplitude(「態幅」),表示被觀測者「潛在的運」(相當於海森堡所說的potentia),而非「實在的狀態」。

  每一觀測則是用一「自伴算符」 (self-adjoint operator 或hermitian operator) 來表示,其樣貌與結構因所觀測的物理量(位置、動量、能量、角動量、儀等)而不同。此算符可視為是一「機」(取機的本義,即機器、機關的機),由互相正交的諸本徵矢量(eigenvectors)構成,每一本徵矢量的長度代表該物理量的本徵值 (eigenvalue) 2。

  「觀測」(measurement) 是觀測者與被觀測者的交互作用。在矢量宇裡的描述,包含兩個步驟:第一步是「運態」逢「機」表態,而有「機運幅」(probability amplitudes,此處機的意思恰好雙關),就如同「矢量」因座標系 (coordinate system) 的選擇而表為分矢量 (components) 的和;第二步則是「運」投射到「機」的某一本徵矢上去3──這時,所對應機運幅的絕對值平方就代表測得相關本徵值的或然率 (probability)。

  不同物理量的「機」不同,因此兩不同觀測通常不能「對易」(non-commutability of different operators),除非是兩機構可相重疊(即有相同的本徵矢)。當被觀測者處於某一物理量(例如位置)的本徵態時,則處於另一與之「不相容」的物理量(例如動量)的「兼態」(linear combination of eigenstates)。

  理論與實驗的比較,要點在於本徵值、前述或然率以及所計算得的各種期望值。至於隨時推移的演變 (time-evolution equation),則特別與系統的「本機」(Hamiltonian operator) 有關。因為或然率只關係到「運」與「機」間的投影,因而描述「時移」有「機演繪景」(Heisenberg picture) 與「運演繪景」(Schrödinger picture) 兩種不同的繪景(pictures)。這兩種描述法各是海森堡(Heisenberg)與薛丁格(Schrödinger)分別於1925年與1926年發展出來的,但薛丁格與狄拉克(Dirac)分別於1926年又發展出所謂「轉換理論」(transformation theory),證明二者等效。

  如此,量子力學中與時推移的方程本身是「命定的」 (deterministic),而「運態」與觀測的關係則以「或然」呈現(probabilistic);「命」「運」互補相成(complementary),此是在哥本哈根詮釋 (Copenhagen interpretation)下,量子力學哲理的本質。

1 用Dirac的表示法,為∣ψ〉。
2 用Dirac的表示法,為∣M∣=Σi∣ui〉λi〈ui∣,∣ui〉為∣M∣的本徵矢。
3 ∣ψ〉→∣ui〉。