釋說新語之七:籌量估算論「算學」 (之一)

2008/09/10 – 下午 8:47

任慶運

  自從四百年前(1607)利瑪竇與徐光啟合譯歐幾理得的Elements 成《幾何原本》之後,大家就習慣把 geometry 譯為「幾何」,雖然有人提倡譯為「形學」,但是並未通行。至於mathematics,本來一直用「算學」一詞,可是一九四五年國立編譯館出版《數學名詞》,以「數學」取代「算學」作為 mathematics 的正式翻譯。

  把geometry 譯為「幾何」是一個誤會,把mathematics譯為「數學」則是一個不幸。本篇先從內容及分類的角度談 mathematics 的譯名,下一篇再談各種譯名的衍變。

  Mathematics 有三個要素,一是「量」(magnitude),二是「算」(operation),三是「關係」(relation)。

  現在稱為「量」的 magnitude,利瑪竇和徐光啟譯為「幾何」。「幾何」不是 geometry而是 magnitude,最直接的證據就在《幾何原本》卷五第一界,由其中「分者幾何之幾何也」的英譯 “A magnitude is a part of a magnitude” 可知。數的多寡是「數量」或「數幾何」,形如直線有長短,角有大小,方形、矩形、圓形等有面積,形的多寡是「形量」或「形幾何」。((詳見釋說新語二))

  中文「算」字原義是計數之器,也稱為「籌」。把「算」字「計數」的原義推廣,就是算術和代數裡「數量」的加、減、乘、除、乘冪、開方等,稱為「演算」或「運算」(operation)。微積分裡的運算有微分、積分,乃及於近世代數、集合論、拓樸學等等,各有各的運算法則。

  「量」經過某些運算之後有等於、大於、小於、屬於、包含於、同倫、同構等等關係。各式各樣的量,經過一定的運算或演算,其間有一定的關係,這些關係的陳述即是一個定理。

  因此 mathematics 應稱為「算學」,探討的對象大分為「數量」與「形量」,主要的工作是各種量的運算,具體內容是依推理程序得到的「定理」,陳述各種量之間的關係。所以 M. Bourdon (1779-1854)把「算學」界定為「探討量的性質與關係的學問」:Mathematics is the science which treats of the properties and relations of quantities, Elements of Mathematics, (tr. by C. Davies), 1851.

  以上所言的「算」偏重「數量」的運算,「形學」中的「形量」也有算,歐氏形學中最基本的「運算」就是平移與旋轉。到了非歐形學、微分形學、拓樸學、向量空間,就有更多的運算,不過這些運算都是因為跟代數結合,藉代數運算來呈現「形量」的算,始作之俑是笛卡兒的座標形學。

  綜上所述,mathematics 應譯為「算學」,因為「算」是主要的工作,再依照所論對象,「算學」可大分為「形學」(geometry)與「代數」(algebra)。

  既把 mathematics 譯為「算學」,以「算」為主,因此再析論「算」的幾層涵義。

  「算」最基礎的意義就是計數(counting),再上一層就是四則與冪次開方等運算(operation)乃至變換(transformation)。因此如果把「算」理解為從一量變成另一量的變換法則的話,歐氏形學裡的作圖題就是各種形量的「算」(參閱《釋說新語》〈論「題」〉)。例如求作圓上一點的切線,就是由已知的一圓及一點「算」出一線。這就是微分形學裡「切空間」(tangent space)的濫觴。

  但是以歐氏形學來說,不論是十三卷《幾何本義》原本裡的形學部分,或是後人編纂的歐氏形學教材,其中的「算」主要是「論證」(reasoning)。歐氏形學最輝煌的成就正是這一套公理系統(axiomatic system),懷海德(A. N. Whitehead)與羅素(B. Russell)的Mathematica Principia 更把這一套論證方法構築為算學形式的公理系統。從這個角度來說,「論證」是「算」的一種。

  再從中文「算」字來說,「盤算」、「算計」、「算略」的「算」都不是單純的計數(counting),而是「思量」的意思,正好可以用來涵括「論證」(reasoning)。因此形學裡的論證也是「算」的一種。